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中国科学院大学硕士研究生入学考试 《数学与物理综合》考试大纲

本《数学与物理综合》考试大纲适用于中国科学院大学硕士研究生入学考试。数理综合 对应的是大学本科微积分、线性代数、普通物理等数理基础课程。要求考生能准确理解基本 概念，熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧， 具有综合运用所学知识分析和解决问题 的能力。

一、考试基本要求

要求考生比较系统地理解微积分、线性代数、普通物理的基本概念和基本理论， 掌握相 应的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所 学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试方法和考试时间

数理综合考试采用闭卷笔试形式，满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。

三、数学部分考试内容

（一）微积分部分

1、实数集与函数

（1）实数

（2）数集•确界原理

（3）函数概念

（4）具有某些特性的函数

2、数列极限

（1）数列极限概念

（2）收敛数列的性质

（3）数列极限存在的条件

3、函数极限

（1）函数极限概念

（2）函数极限的性质

（3）函数极限存在的条件

（4）两个重要的极限

（5）无穷小量与无穷大量

4、函数的连续性

（1）连续性概念

（2）连续函数的性质

（3）初等函数的连续性

5、导数和微分

（1）导数的概念

（2）求导法则

（3）参变量函数的导数

（4）高阶导数

（5）微分

6、微分中值定理及其应用

（1）拉格朗日定理和函数的单调性

（2）柯西中值定理和不定式极限

（3）泰勒公式

（4）函数的极值与最大（小）值

（5）函数的凸性与拐点

（6）函数图像的讨论

（7）方程的近似解

7、实数的完备性

（1）关于实数集完备性的基本定理

（2）上极限和下极限

8、不定积分

（1）不定积分概念与基本积分公式

（2）换元积分法与分部积分法

（3）有理函数和可化为有理函数的不定积分

9、定积分

（1）定积分概念

（2）牛顿—莱布尼茨公式

（3）可积条件

（4）定积分的性质

（5）微积分学基本定理•定积分计算（续）

（6）可积性理论补叙

10、定积分的应用

（1）平面图形的面积

（2）由平行截面面积求体积

（3）平面曲线的弧长与曲率

（4）旋转曲面的面积

（5）定积分在物理中的某些应用

（6）定积分的近似计算

11、反常积分

（1）反常积分概念

（2）无穷积分的性质与收敛判别

（3）瑕积分的性质与收敛判别

12、数项级数

（1）级数的收敛性

（2）正项级数

（3）一般项级数

13、函数列与函数项级数

（1）一致收敛性

（2）一致收敛函数列与函数项级数的性质

14、幂级数

（1）幂级数

（2）函数的幂级数展开

（3）复变量的指数函数•欧拉公式

15、傅里叶级数

（1）傅里叶级数

（2）以 2π为周期的函数的展开式

（3）收敛定理的证明

16、多元函数的极限与连续

（1）平面点集与多元函数

（2）二元函数的极限

（3）二元函数的连续性

17、多元函数微分学

（1）可微性

（2）复合函数微分法

（3）方向导数与梯度

（4）泰勒公式与极值问题

18、隐函数定理及其应用

（1）隐函数

（2）隐函数组

（3）几何应用

（4）条件极值

19、含参量积分

（1）含参量正常积分

（2）含参量反常积分

（3）欧拉积分

20、曲线积分

（1）第一型曲线积分

（2）第二型曲线积分

21、重积分

（1）二重积分的概念

（2）直角坐标系下二重积分的计算

（3）格林公式 · 曲线积分与路线的无关性

（4）二重积分的变量变换

（5）三重积分

（6）重积分的应用

（7）n 重积分

（8）反常二重积分

（9）在一般条件下重积分变量变换公式的证明

22、曲面积分

（1）第一型曲面积分

（2）第二型曲面积分

（3）高斯公式与斯托克斯公式

（4）场论初步

23、向量函数微分学

（1）n 维欧氏空间与向量函数

（2）向量函数的微分

（3）反函数定理和隐函数定理

（二）线性代数部分

1、代数的起源

（1）简谈代数，线性方程初步

（2）低阶行列式

（3）集合与映射

（4）等价关系与商映射

（6）整除

2、矩阵

（1）行和列的向量空间

（2）矩阵的秩

（3）线性映射，矩阵的乘法

3、行列式

（1）行列式、构造和基本性质

（2）行列式进一步性质

（3）行列式的应用

（4）行列式的公理化构造

4、群、环、域

（1）具有代数运算的集合 （2）群

（3）环和域

5、多项式

（1）多项式环

（2）多项式环中的因式分解

（3）多项式的根

（4）对称多项式

6、空间与形式

（1）抽象向量空间、维数与基底

（2）对偶空间

（3）双线性型和二次型

7、线性算子

（1）向量空间的线性映射、算子代数

（2）不变子空间与特征向量

（3）若尔当标准型

8、带有纯量乘积的向量空间

（1）欧几里得向量空间

（2）埃尔米特向量空间

（3）带有纯量乘积的空间上的线性算子

（4）复化与实化

（5）正交多项式

9、仿射空间与欧几里得空

（1）仿射空间、欧几里得空间

（2）群与几何

（3）带有指数有限度量的空间

10、二次曲面

（1）二次函数

（2）仿射空间与欧几里得空间中的二次曲面

（3）射影空间及其中的二次曲面

11、张量

（1）张量计算初步

（2）张量的卷积，对称化与交错化

（3）外代数

(三)参考书目

1、华东师范大学数学系,《数学分析》(第四版), 高等教育出版社, 2010。

2、柯斯特利金，《代数学引论》第 1 卷（第 2 版）,第 2 卷（第 3 版），高等教育出版社。

3、B.A.卓里奇著，蒋铎、王昆扬、周美珂、邝荣雨译，《数学分析》，高等教育出版社。

四、物理部分考试内容

大学《普通物理》课程的基本内容，包含力学、热学、光学、电磁学和原子物理学等。

（一）力学

1、质点运动学

（1）空间和时间

（2）矢径

（3）参考系

（4）运动方程

（5）瞬时速度

（6）瞬时加速度

（7）切向加速度

（8）法向加速度

（9）圆周运动

（10）运动的相对性

2、质点动力学

（1）惯性参照系及力学相对性原理

（2）牛顿运动定律 （3）功

（4）功率

（5）质点的动能

（6）动能定理

（7）弹性势能

（8）重力势能

（9）保守力

（10）惯性力

（11）功能原理

（12）机械能守恒与转化定律

（13）动量、冲量、动量定理

（14）动量守恒定律

3、刚体的转动

（1）角速度矢量

（2）质心

（3）转动惯量

（4）有心力场中的质点运动

（5）转动动能

（6）转动定律

（7）力矩

（8）力矩的功

（9）转动动能定律

（10）刚体平面平行运动

（11）刚体的平衡

（12）角动量和冲量矩

（13）角动量定理

（14）角动量守恒定律

（15）对称性和守恒律

4、流体

（1）流体静力学

（2）流体动力学

（3）理想流体的定常流动

（4）黏性流体的流动

5、简谐振动和波

（1）运动学描述

（2）动力学分析

（3）振动方程

（4）旋转矢量表示法

（5）谐振动的能量

（6）谐振动的合成

（7）波的产生与传播

（8）面简谐波波动方程

（9）波的能量、能流密度

（10）波的叠加与干涉

（11）驻波

（12）多普勒效应

（13）真空中的电磁波

6、狭义相对论

（1）伽利略变换

（2）经典力学的时空观

（3）狭义相对论的相对性原理

（4）光速不变原理

（5）洛仑兹变换

（6）同时性的相对性

（7）狭义相对论的时空观

（8）狭义相对论的动力学

（9）相对论的质能守恒定律

(二)热学

1、平衡态与状态方程

（1）状态参量与平衡态

（2）温度

（3）热力学第零定律

（4）温标

（5）状态方程

（6）物质的微观结构

（7）理想气体的微观模型

（8）温度的统计意义和微观解释

（9）理想气体的传热过程

2、平衡态系统的统计规律

（1）随机运动的统计规律

（2）布朗运动

（3）麦克斯韦速度、速率分布

（4）近独立子系统的最概然分布

（5）等概率原理

（6）麦克斯韦——玻尔兹曼分布

（7）分子的自由度

（8）能量均分定理

（9）气体的内能与热容

（10）量子气体

3、近平衡态中的输运过程

（1）有效碰撞界面与碰撞速度；

（2）平均碰撞频率与平均自由程；

（3）气体分子的自由程分布；

（4）粘滞现象、扩散现象、热量传递的宏观规律；

（5）气体中输运现象的微观解释。

4、热力学第一定律

（1）力学、热学作用下的能量转移

（2）内能

（3）热力学第一定律

（4）准静态过程

（5）热容 （6）焓

（7）循环过程

（8）卡诺循环及效率

（9）第一定律的状态函数表示

（10）第一定律的微观解释

5、热力学第二定律

（1）热力学第二定律

（2）卡诺定律

（3）熵的概念

（4）熵的计算

（5）熵增加原理

（6）玻尔兹曼熵

（7）热力学第二定律的统计意义

（8）自由能、自由焓

（9）热力学方程

（10）热力学温标

（11）熵的标准参考点

（12）热力学第三定律

6、液体

（1）液体的彻体性质

（2）径向函数分析法

（3）表面张力与表面能

（4）拉普拉斯公式

（5）表面接触角

（6）毛细现象

7、单元系统的复相平衡与相变 （1）相

（2）相变

（3）相平衡

（4）克拉伯龙方程

（5）汽液相变

（6）范德瓦耳斯等温线

（7）亚稳态

(三)光学

1、光在各向同性介质界面上的反射和折射

（1）费马原理

（2）菲涅耳反射、折射公式

（3）反射率和透射率

（4）相位关系和半波损

（5）反射、折射时的偏振

2、光的干涉

（1）光波的叠加和干涉

（2）分波前干涉和分振幅干涉

（3）等倾干涉和等厚干涉

（4）迈克耳孙干涉仪和马赫——曾德尔干涉仪

（5）多光束干涉

3、光的衍射

（1）惠更斯——菲涅耳原理

（2）菲涅耳衍射

（3）夫琅禾费单缝衍射、多缝衍射和光栅

（4）全息术原理

（5）傅里叶光学

4、光的偏振和光在晶体中的传播

（1）光的横波性和光的五种偏振态

（2）起偏振器与检偏振器

（3）双折射现象和偏振棱镜

（4）偏振光的干涉

（5）旋光性

5、光的吸收、色散和散射

（1）光的吸收

（2）光的色散

（3）波包与群速

6、光的量子性

（1）经典及普朗克黑体辐射理论

（2）光电效应

（3）光量子

(四)电磁学

1、静电场

（1）库仑定律

（2）电场

（3）电场强度

（4）场强叠加原理

（5）静电场的高斯定理

（6）静电场的环路定理及电势

（7）带电体系的静电能

2、静电场中的导体和电介质

（1）静电场中的导体

（2）电容和电容器

（3）电介质的极化

（4）有介质时的静电场

（5）电场的能量和能量密度

3、恒定电流

（1）电流的连续性方程

（2）恒定条件

（3）欧姆定律

（4）电源和电动势

4、恒定磁场

（1）磁的基本现象和基本规律

（2）毕奥——萨伐尔定律

（3）磁场的“高斯定理”和“安培环路定律”

（4）安培定律；洛伦兹力

5、磁介质

（1）磁性的来源

（2）顺磁质

（3）抗磁质

（4）介质的磁化规律

（5）有磁介质存在时的磁场

（6）铁磁质

（9）磁场的边界条件和磁路定理

6、电磁感应

（1）电磁感应定律

（2）动生电动势

（3）感生电动势

（4）涡旋电场

（5）自感与互感

（6）暂态过程

7、麦克斯韦电磁场理论

（1）麦克斯韦电磁场方程组

（2）电磁波

（3）赫兹实验

（4）电磁场的能流密度

(五)原子物理

1、原子的核式模型

（1）原子的发现

（2）电子和原子核的发现

（3）卢瑟福模型和卢瑟福散射

（4）原子行星模型的意义和困难

2、波尔的氢原子理论

（1）氢原子光谱

（2）夫兰克——赫兹实验

（3）波尔的氢原子理论

（4）波尔理论的成功和局限

3、量子力学初步

（1）能量的量子化

（2）光子

（3）光电效应

（4）物质波

（5）波粒二相性

（6）薛定谔方程

（7）几率波

（8）海森堡不确定原理

（9）氢原子光谱的量子力学解释

4、原子中电子的自旋

（1）电子轨道运动的磁矩

（2）史特恩——盖拉赫实验

（3）电子的自旋假设

（4）原子光谱的精细结构：碱金属双线

（5）塞曼效应

（6）斯塔克效应

5、多电子原子

（1）氦原子的光谱和能级

（2）两个电子的耦合

（3）泡利不相容原理

（4）元素周期表