2020年北京工业大学硕士研究生招生考试自命题考试大纲（865高等代数）

来源：北京工业大学研招办 2019-09-21 14:10 1425 阅读

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一、考试要求

高等代数考试大纲适用于北京工业大学应用数理学院（0701）数学、（0714）
统计学学科各专业的硕士研究生招生考试。考试内容主要包括多项式、行列式、矩
阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间、矩阵等。要求考生理
解基本概念、掌握基本定理、熟悉基本计算，有较强的运算能力和综合分析解决问
题能力。

二、考试内容

（一）多项式理论

(1)理解一元多项式的概念，多项式的因式分解、因式分解定理；

(2)掌握多项式的加、减、乘、除运算、多项式的整除、最大公因式、重因

式判别法、有理系数多项式、爱森斯坦因判别法。

（二）行列式

(1)理解 n 元排列、n 级行列式的定义；

(2)熟练掌握 n 级行列式定义性质、n 级行列式（按行或列）展开、n 级行列

式的计算方法；

(3)熟悉代数余子式的相关结论、克来姆法则、范得蒙行列式。

（三）线性方程组

(1)理解 n 维向量的运算及性质、线性相关与线性无关；

(2)熟练掌握高斯消元法、矩阵的秩、线性方程组有解的判别定理、线性方

程组解的结构。

（四）矩阵

(1)熟练掌握矩阵的各种运算、矩阵乘积的行列式、矩阵的秩、分块矩阵、

逆矩阵、初等变换与初等矩阵

（五）二次型

(1)熟悉二次型的矩阵表示[1]

(2)熟练掌握二次型的标准型、二次型的规范型、惯性定理、正定二次型。

（六）线性空间

(1)理解线性空间的定义及性质、维数、线性子空间、线性空间的同构；

(2)熟练掌握基与坐标、基变换与坐标变换、子空间的交与和及维数公式、

子空间的直和及其等价命题。

（七）线性变换

(1)理解线性变换的定义与运算，了解哈密尔特—凯莱定理、若当矩阵及其

性质；

(2)熟练掌握线性变换的矩阵、线性变换的线性空间与基域上的
n

n
方阵
的线性空间的同构、矩阵的相似、特征值与特征向量、矩阵对角化、线性变换
的值域与核、不变子空间。

（八）-矩阵
(1)掌握-矩阵及其运算、-矩阵在初等变换下的标准型

(2)会求不变因子、初等因子及利用初等因子求矩阵的若当标准形。

（九）欧几里得空间

(1)理解欧几里得空间的定义和基本性质、标准正交基。

(2)熟练掌握柯西—布涅柯夫斯基不等式、施密特正交化过程、正交变换与正交矩阵、子空间与正交补空间、对称变换与对称矩阵、利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。

三、参考书目

1、《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，北京：

高等教育出版社，2010 年 3 月

【责任编辑：小鑫】