华侨大学硕士研究生招生考试

初试自命题科目考试大纲

招生学院：    数学科学学院    招生专业：    数学                   

科目名称：                  高等代数                         

一、考试形式与试卷结构   

（一）试卷满分值及考试时间

      本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

    （二）答题方式

 答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。

（三）试卷内容结构

考试内容主要包括矩阵理论，包含行列式、矩阵的相抵、相似、合同分类(30%)；线性方程组(10%)；线性空间(15%)；线性映射(25%)；多项式(20%)。

（四）试卷题型结构

1.计算题（60分），共4-6道；

2.证明题（90分），共5-7道。

二、考查目标

课程考试的目的在于测试考生对于《高等代数》的基本概念、基本知识、基础方法的掌握情况以及综合运用（线性）代数技巧研究代数对象的结构和表示的能力。

三、考查范围或考试内容概要

第一部分  矩阵理论
  1. 矩阵的行列式
  行列式的定义与计算；拉普拉斯（Laplace）定理；范德蒙德行列式
   2. 矩阵的运算
  矩阵的乘法的基本性质，包括乘法与迹、转置、行列式的关系；可逆矩阵的性质与计算
  3. 矩阵的相抵分类
  初等变换；矩阵秩的定义及性质；矩阵相抵的充要条件
  4. 矩阵的相似分类
  矩阵的特征值与特征向量；相似的不变量（包含行列式因子、不变因子、初等因子组）；特征多项式与极小多项式；矩阵可对角化；正交矩阵与正交相似；斯密特（Schmidt）正交化过程；计算复矩阵的约当（Jordan）标准形

5. 矩阵的合同分类

二次型的标准形和规范形；实二次型的惯性定理；正定矩阵

第二部分  线性方程组
  1. 向量组
  （列）向量的线性关系；向量组的极大线性无关组与秩
  2. 线性方程组
  高斯（Gauss）消元法；线性方程组解的结构；克莱姆（Gram）法则
  
  第三部分  线性空间
  1. 一般线性空间
  线性空间的公理定义；线性空间的基与维数；线性空间的同构；子空间的维数定理；子空间的直和
  2. 具有几何结构的线性空间
  欧式空间；柯西（Cauchy）不等式；斯密特（Schmidt）正交化与标准正交基

  第四部分  线性映射
  1. 线性映射与矩阵的关系
  线性映射的基本性质；线性映射在不同基下的（表示）矩阵；双线性映射的度量矩阵
  2. 线性映射的结构
  线性映射的维数定理；线性变换的不变子空间
  3. 线性映射与矩阵相似分类的进一步联系
  Jordan 标准形对应的不变子空间分解（根子空间分解和循环子空间分解）；Jordan-Chevalley分解定理

  第五部分  多项式
  1. 多项式的基本性质
  多项式的度；带余除法；最大公因式；互素
  2. 多项式的结构
  唯一分解定理；重因式与重根；多项式函数
  3. 不可约多项式
  代数基本定理；实数域上的不可约多项式；本原多项式的唯一分解定理；艾森斯坦（Eisenstein）判别法；整系数多项式的有理根

四、参考教材或主要参考书：

        《高等代数》，林亚南编著，高等教育出版社，2013年.