四、考查内容

第一部分极限和函数的连续性

一、考试主要内容

映射与函数；数列的极限、函数的极限；连续函数、函数的连续性和一致连续性；R2 中的点集、实数系的连续性；函数和连续函数的各种性质。

二、考试要求

1. 熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。

2. 掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限求极限。

3. 掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆盖定理，Cauchy 收敛准则；并理解相互关系。

4. 熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的；并理解两者的相互关系。

5. 熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理；了解Contor 定理。

第二部分一元函数微分学

一、考试主要内容

微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式公式；导数的应用。

二、考试要求

1. 理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

2. 熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。

3. 熟练掌握Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理以及Taylor 展式。

4. 能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

5. 掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。

第三部分 一元函数积分学

一 、考试主要内容

定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。

二、考试要求

1. 理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。

2. 掌握定积分的概念，包括Darboux 和，上、下积分及可积条件与可积函数类。

3. 掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。

4. 能用定积分表达和计算如下几何量与物理量：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心。

5. 理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法；其中包括积分第二中值定理。

第四部分无穷级数

一 、考试主要内容

数项级数的概念、数项级数敛散的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。

二、考试要求

1. 理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

2. 熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy 判别法，D‘Alembert 判别法与积分判别法。

3. 熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz 判别法。掌握绝对收敛级数的性质。

4. 熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass 判别法。Abel 判别法、Cauchy 判别法和Dirichlet 判别法。

5. 掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括Cauchy-Hadamard 定理和Abel 第一定理。

6. 熟练掌握幂级数的性质，能够将函数展开为幂级数，理解余项公示。

第五部分多元函数微分学与积分学

一、考试主要内容

多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。

二、考试要求

1. 理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。

2. 掌握隐函数存在定理。

3. 熟练掌握求多元函数极值和无条件极值，了解偏导数的几何应用。

4. 熟练掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。

5. 熟练掌握Gauss 公式、Green 公式和Stoks 公式及其应用。

第六部分 含参变量积分

一 、考试主要内容

含参变量积分的概念、性质，计算。

二、考试要求

1. 了解含参变量常义积分的概念与性质。

2. 熟练掌握变上限和变下限积分分析性质。

五、参考书目

1.华东师范大学数学系编：《数学分析》上、下册，高等教育出版社，2010年7 月，第四版。

六、特殊说明

本自命题考试科目无需计算器。