南方科技大学 

2021 年硕士研究生入学考试大纲 

考试科目名称：线性代数考试科目代码：801        

一、考试要求 

1） 要求考生熟练掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。

2） 要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。

3） 要求考生具备应用线性代数解决实际问题能力。

二、考试内容

1）多项式

a.多项式无重因式的充要条件，复数域及实数域上多项式因式分解理论。b.多项式的欧几里得除法。

2)行列式

a. 行列式的概念，行列式的子式，余子式及代数余子式的概念。 

b. 行列式的性质，按行、列展开定理，Cramer 法则，行列式乘法公式。c.计算行列式的基本方法。

3）线性方程组

a. 高斯消元法、初等变换求解线性方程组的方法。

b. 向量线性相关、线性无关，向量组等价，极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩，基础解系，解空间等概念。

c. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。

4)矩阵

a.矩阵，对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。

b.矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。

c. 逆矩阵的概念，逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵的概念，伴随矩阵的性质。

d. 矩阵的初等变换，初等矩阵的性质，用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。

e.分块矩阵，分块阵的运算及初等变换。

5）二次型

a. 二次型的概念及二次型的矩阵表示，二次型秩的概念，二次型的标准形、规范形的概念及惯性定律。

b. 用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。

c. 二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。

6)线性空间

a. 线性空间，子空间，生成子空间，基底，维数，坐标，过渡矩阵，子空间的和与直和等概念。线性空间同构的概念。

b. 基扩张定理，维数公式，直和的充要条件。

7）线性变换

a. 线性变换，特征值，特征向量，特征多项式，特征子空间，不变子空间，线性变换的矩阵，相似变换，相似矩阵，线性变换的值域与核，Jordan 标准形，最小多项式等概念与计算。

b. 线性变换的性质，相似矩阵的性质，核空间与值域的性质，不变子空间的性质。

Cayley-Hamilton 定理，广义特征子空间直和分解，最小多项式理论。

c. 线性变换的矩阵表示方法，线性变换的特征值、特征向量的方法，矩阵可相似对角化的条件与方法，线性变换与矩阵“互化”的思想方法。

8)欧几里得空间

a. 内积，欧氏空间，向量长度、夹角、距离，度量矩阵，标准正交基、正交补，正交变换，正交阵，对称变换，同构等概念。

b. Schmidt 正交化方法，标准正交基的性质，正交变换的性质，正交阵的性质，对称变换的性质及标准形。

c. 实对称阵的特征值、特征向量的性质，用正交相似变换将实对称阵相似（合同）对角化。

d. 向量到子空间的距离和最小二乘法。

e.酉空间的概念和基本性质。

三、考试时间：180 分钟，满分：150 分

四、参考书目 

   《高等代数》，北大数学系几何与代数教研室，高等教育出版社，2013 年，第四版。