本《数学专业综合》考试大纲适用于中国科学院大学硕士研究生入学考试。所涉及的复分析、拓扑基础、实分析、代数、微分几何以及概率论都是大学数学系本科学生最基本的 课程，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。要求考生熟悉复分析、拓扑基础、实分析、 代数、微分几何以及概率论等课程的基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分 析解决问题能力。

一、考试的基本要求

要求考生比较系统地理解复分析、拓扑基础、实分析、代数、微分几何以及概率论等课程的基本概念和基本理论，掌握相应的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻 辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试方法和考试时间

数学综合考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

《数学综合考试试卷》试题分成六个部分，每一部分试题的分值和为90分，总值为540 分。考生需在 540分的试题中任意选做分值和不超过150分的试题并明确标示。如果选做试 题的分值和超过150分，判卷将按照所选做试题的题号顺序依次判卷直到所做题目分值和超 过 150分题目的前一题，后面所做试题视作无效考试内容。

三、 考试内容

(一)  复分析

1． 复数

2． 复函数

3． 解析函数的几何性质

4．  复积分

5．级数与乘积展开

6．共性映射与Dirichlet 问题

7． 椭圆函数(简单介绍)

(二)  拓扑基础

1 ． 引论.Euler定理，拓扑等价， 曲面，抽象空间，一个分类定理，拓扑不变量。

2． 拓扑空间及连续映射. 开集与闭集， 连续映射， 充满空间的曲线，Tietze扩张定 理

3．拓扑空间的紧致性与连通性. 欧氏空间的有界闭集，Heine  Borel定理，紧致空 间，乘积空间，连通性道路连通性

4．粘合空间.Mbius带的制作，粘合拓扑，拓扑群，轨道空间

5． 拓扑空间的基本群. 同伦映射， 拓扑空间的基本群， 计算， 同伦型，Brouwer不 动点定理，平面的分离，曲面的边界，复叠空间及其基本性质

6 ．单纯剖分. 空间的单纯剖分， 重心重分， 单纯逼近， 复形的棱道群， 轨道空间 的单纯剖分

7 ． 曲面. 分类，单纯剖分与定向，Euler示性数，剜补运算，曲面符号

8．单纯同调. 闭链与边缘，同调群，单纯映射，辐式重分，不变性

9． 映射度与Lefschetz数. 球面的连续映射，Euler  Poincaré公式，Borsuk Ulam 定 理，Lefschetz不动点定理

(三)  实分析

1.抽象积分. 可测函数、简单函数及可积函数的基本概念， 测度的基本性质， 函 数列的收敛性，勒贝格单调收敛定理，Fatou 引理，控制收敛定理。

2. 正博雷尔(Borel) 测度. 拓扑中的基本概念， Riesz 表示定理，Borel 测度的 正则性，Lebesgue 测度，可测函数的连续性，Lusin(鲁金)  定理。

3.空间. 凸函数，Jensen(詹森) 不等式，  空间中的重要不等式： 如 Holder 不 等式，Minkowski 不等式，  函数列中的范数收敛与依测度收敛以及几乎处处 收敛之间的关系。

4.Hilbert 空间的初等理论. 内积，平行四边形法则，投影定理，正交基，傅立 叶级数。

5.Banach 空间技巧的例子. 赋范空间， 贝尔定理及其推论，  Hahn-Banach 定理， Poisson 积分。

6.复测度. 全变差，绝对连续性，Radon-Nikodym(拉东-尼柯迪姆) 定理极其推论, 空间上的有界线性泛函。

7.微分. 测度的导数，Hardy-Littlewood 极大函数，微积分基本定理， 可微变 换。

8.乘积空间的积分. 乘积空间的测度，Fubini 定理，乘积测度的完备化，卷积， 分布函数。

(四)  代数

1. 群论

2. 环与代数、模论

3. 范畴论初步、泛代数

4. 域论与 Galois 理论

5. 表示理论基础

(五)  微分几何

1. 空间区域的几何坐标系. 欧氏空间，黎曼和伪黎曼空间，欧氏空间的变换群，弗莱纳公式，伪欧几里德空间

2. 曲面论. 空间曲面的几何，第二基本型，球面的度量，伪欧几里德空间中的类空曲面，几何中的复语言，解析函数，曲面度量的共形形式

3. 高斯映射的几何. 高斯映射以及基本性质，局部坐标下的高斯映射，向量场， 极小曲面

4. 内蕴几何. 等距，共形变换，测地线，平行移动，指数映射，测地极坐标

5. 变分法. 一维变分问题，守恒定律，哈密顿系统，相空间的几何理论，测地方程的二阶变分

(六)  概率论